​自然常数e和欧拉公式

自然常数e和欧拉公式

自然常数e和欧拉公式

欧拉恒等式号称是上帝的公式。

欧拉恒等式真是天才之作，把数学上最重要的几个数值放在了一起，自然常数e，圆周率π，虚数单位i，数字的起点1和表示虚无的0。

我们对于在数学上的大神们，比如高斯、欧拉、黎曼等，比喻成是天才，并且一直认为数学上的成绩是天生的，甚至说这些大神和普通人之间的差别，就跟人和狗之间的差别那么大。我也是一直这样认为，但是，我现在改变了自己的想法。其实我们跟欧拉他们的差别并没有那么大。欧洲的数学家、科学家跟哲学家差不多，都是故弄玄虚，只是我们并不清楚他们的思考过程而已。我们的教育缺失了这个环节，所以我也认为这是丘成栋先生说我们的数学教育落后欧美几十年的原因。

我可以从e的性质以及欧拉公式来简单的给大家分析一下。

欧拉恒等式是由欧拉公式是推导出来的，欧拉公式如下：

当取x=1时，就是欧拉恒等式。

e有一个非常难得的性质，就是其指数函数的导数等于自身，二阶导数还是自身，三阶导数、四阶导数----，都是自身。

e^x的泰勒展开式：

上面的泰勒展开式就能看出来了，第一项1，求导数变成零，第二项求导数等于1，第三项求导数等于第二项，第四项求导数等于第三项，依此类推，数值并没有变化，而e^x的项数是无穷多的，这样求导的结果就等于其自己。

首先我们要明白导数是什么？导数代表变化的程度，最常见的就是加速度是速度的导数，就是速度的变化。求导也可以形容一本书被一页一页的撕下来，求导一次就等于撕掉一页纸。而e^x代表有无数页的书，永远撕不完，并且撕下来一页，书还是完整的，没有任何变化。

欧拉生活在泰勒已经提出了其展开式的年代，他肯定是知道e的这个性质。而欧拉在三角函数上的研究是非常深入的，是他首先使用了π、sin、cos、tg等符号。对于正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)互为导数也是非常清楚的。在深入思考后，欧拉肯定会联想到e与sin、con之间必然可以建立联系，于是就出现了欧拉公式的形式。

在前面的几个文章里，已经基本说清楚了e的来源和性质，那么它又是如何进入到熵、信息论、波函数的呢？

在第四章（《分层学说》）曾经讨论过白噪声，是针对波动的，如电磁波、光、声波等。是一种在每个频率上都有相同功率的波，就是经过傅里叶变换后，在足够大的频带内功率谱密度是一个常数。

太阳辐射出来的光是白光，一个天线自身产生的电波也是白噪声，这样的白噪声是什么样的性质？

这样的白噪声除了功率谱密度是常数外，其相位也是随机的。在时域上看，其幅度是随机的，过零点也是随机的。

这样的白噪声无论怎么求导都不会改变其“白”色的性质，理想情况下其每一次求导后的性质还是等于其自身的性质。就像太阳发出来的白光一样，求导的过程就是均匀的减少光子数量，白光性质不会改变，改变的只是光强度。

除了波动以外，还有一些状态跟白噪声类似，其中一个就是理想气体。气体分子相互碰撞，杂乱无章，正如上一节描述的一样，可以看成是白噪声状态。

而另一个就是基本粒子的状态。虽然我对于基本粒子所处的环境并不是太清楚，但是至少在其行为上，并没有被一个恒定的力束缚住，尤其是其位置、速度都是随机的，基本上与理想气体的状态差不多，可以看成是白噪声状态。

理想气体的玻耳兹曼分布函数：

薛定谔的波函数：

波函数增加了一个x，就是位置量，如果不考虑位置波函数：

理想气体就是跟白噪声差不多的性质，无论速度、动量、方向都是混乱的，减少一层，或者说把其中的一部分拿走，并没有影响整体状态。这个性质就是和e的性质是相同的，求导数等于自身。这样的状态可以称为e状态。

我相信，薛定谔是对熵的研究很深的，甚至在那个爱因斯坦、波尔、普朗克等同时代的人中，他的研究可能是最深的，他还提出了生命是负熵的理论。

可以推断，他猜出来了基本粒子的状态和理想气体差不多。既然理想气体有e的存在，量子力学的粒子状态是否也是如此，至少在状态上是可以等效的，必然有e存在。e是和正余弦相关的，存在驻波性，可以看成不连续的。如果能够把e引进到量子力学中，这样不就解决了电子等基本粒子能级量子化的问题了吗。

所以波函数是在理想气体的玻耳兹曼分布函数的基础上出来的，而玻耳兹曼分布函数是描述了气体分子的杂乱无章的行为的，也可以叫e行为。有了e的存在，跟波动挂上钩了，从而就有了驻波性，从而出现能级，出现一份一份的能量。

而薛定谔方程确实与实验相符，也反向说明了基本粒子的行为与理想气体一样，但其碰撞可能不是直接来自其他基本粒子，而是来自能量，也许是来自波场层的“结”。

摘自：《分层学说，一个关于世界本质的假说》

https://read.douban.com/column/68398709/